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Nikolay Nikolov; Jakob Schneider; Andreas Thom
Some remarks on finitarily approximable groups
(Remarques sur les groupes finitairement approximables)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 5 (2018), p. 239-258, doi: 10.5802/jep.69
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Class. Math.: 20E26, 20E18, 03C20, 20F69
Mots clés: Sofique, groupe C-approximable, ultraproduit métrique

Résumé - Abstract

Le concept de groupe $\mathcal{C}$-approximable, pour une classe de groupes finis $\mathcal{C}$, généralise à la fois les notions de groupe sofique, faiblement sofique et linéairement sofique. Glebsky a soulevé la question de savoir si tous les groupes sont approximables par des groupes finis résolubles avec une fonction longueur invariante arbitraire. Nous résolvons cette question en montrant que tout groupe parfait non trivial de type fini n’a pas cette propriété, en généralisant un contre-exemple dû à Howie. Dans le même esprit, nous montrons que tout groupe non trivial qui peut être approximé par des groupes finis a un quotient non trivial qui peut être approximé par des groupes projectifs spéciaux linéaires finis. De plus, nous discutons la question de savoir quels groupes de Lie peuvent être plongés dans un ultraproduit métrique de groupes finis avec fonction longueur invariante. Nous montrons que ce sont exactement les groupes abéliens, fournissant ainsi une réponse négative à une question de Doucha. En relation avec un problème de Zilber, nous montrons que la composante neutre d’un groupe de Lie dont la topologie est engendrée par une fonction longueur invariante et qui est un quotient abstrait d’un produit de groupes finis, doit être abélienne. Ces deux derniers résultats permettent de donner une nouvelle preuve d’un résultat de Turing. Enfin, nous résolvons une conjecture de Pillay en montrant que la composante neutre d’une compactification d’un groupe pseudo-fini doit aussi être abélienne. Tous les résultats de cet article sont des applications de théorèmes, dus au premier auteur et à Segal, sur les générateurs et les commutateurs dans un groupe fini, ainsi que de résultats de Liebeck et Shalev.

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