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Hoel Queffelec; Alistair Savage; Oded Yacobi
An equivalence between truncations of categorified quantum groups and Heisenberg categories
(Une équivalence entre des troncations de groupes quantiques catégorifiés et des catégories de Heisenberg)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 5 (2018), p. 197-238, doi: 10.5802/jep.68
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Class. Math.: 17B10, 17B65, 20C30, 16D90
Mots clés: Catégorification, algèbre de Heisenberg, espace de Fock, représentation basique, réalisation principale, groupe symétrique

Résumé - Abstract

Nous introduisons une 2-catégorie élémentaire $\mathscr{A}$ qui catégorifie l’image de l’espace de Fock comme représentation de l’algèbre de Heisenberg, ainsi que la représentation basique de $\mathfrak{sl}_\infty $. Nous montrons que $\mathscr{A}$ est équivalente à une troncation du groupe quantique catégorifié de Khovanov–Lauda $\mathscr{U}$ en type $A_\infty $, ainsi qu’à une troncation de la 2-catégorie de Heisenberg $\mathscr{H}$ introduite par Khovanov. Cette équivalence se comprend comme une catégorification de la réalisation principale de la représentation basique de $\mathfrak{sl}_\infty $. Il résulte des équivalences catégoriques précédentes que certaines actions de $\mathscr{H}$ induisent des actions de $\mathscr{U}$, et vice versa. En particulier, nous obtenons une action explicite de $\mathscr{U}$ sur les représentations des groupes symétriques. Nous calculons également explicitement le groupe de Grothendieck de la troncation de $\mathscr{H}$. La 2-catégorie $\mathscr{A}$ s’interprète comme un calcul graphique décrivant les foncteurs de $i$-induction et $i$-restriction pour les groupes symétriques, ainsi que les transformations naturelles entre leurs composées. Nous utilisons l’outil de calcul qui en découle pour donner des preuves diagrammatiques simples d’identités (apparemment nouvelles) en théorie des représentations.

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