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Anne de Roton
Small sumsets in $\protect \mathbb{R}$: full continuous $3k-4$ theorem, critical sets
(Ensembles de réels de petite somme : une version continue du théorème 3k-4, structure des ensembles critiques)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 5 (2018), p. 177-196, doi: 10.5802/jep.67
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Class. Math.: 28A75, 11B13, 05B10
Mots clés: Ensembles sommes, ensembles critiques, mesure de Lebesgue, théorèmes inverses en combinatoire additive

Résumé - Abstract

Nous démontrons un théorème $3k-4$, dans sa version la plus complète, pour les ensembles de réels en utilisant des idées issues du travail de Ruzsa sur les mesures des sommes d’ensembles de réels et une représentation graphique liée à la densité des ensembles. Nous obtenons ainsi des informations sur les structures des ensembles $A$, $B$ et $A+B$ lorsque $\lambda (A+B)<\lambda (A)+2\lambda (B)$ et soit la mesure de $A$ est supérieure à celle de $B$, soit le diamètre de $A$ est supérieur à celui de $B$. Nous obtenons aussi des informations sur la structure des ensembles de grande densité en fonction de la taille de leur somme, ce qui représente un résultat n’ayant pas d’analogue discret. Nous caractérisons enfin les ensembles de réels critiques pour lesquels la mesure de l’ensemble somme atteint le minorant que nous avons obtenu.

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