staple
Avec cedram.org
logo JEP
Table des matières de ce volume | Article précédent | Article suivant
Stéphane Druel; Henri Guenancia
A decomposition theorem for smoothable varieties with trivial canonical class
(Un théorème de décomposition pour les variétés à singularités lissables dont la première classe de Chern est nulle)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 5 (2018), p. 117-147, doi: 10.5802/jep.65
Article PDF | TeX source
Class. Math.: 14J32, 14E30
Mots clés: Variétés dont le diviseur canonique est trivial, singularités klt lissables, métriques de Kähler-Einstein sur les espaces lissables

Résumé - Abstract

Nous montrons que toute variété complexe projective, à singularités klt lissables et lisse en codimension deux, dont le diviseur canonique est numériquement trivial, admet un revêtement quasi-étale fini qui se décompose en un produit d’une variété abélienne et d’analogues singuliers des variétés symplectiques irréductibles et des variétés de Calabi-Yau irréductibles.

Bibliographie

[Arm82] M. A. Armstrong, “Calculating the fundamental group of an orbit space”, Proc. Amer. Math. Soc. 84 (1982) no. 2, p. 267-271 Article
[Art76] M. Artin, Lectures on deformations of singularities, Lectures on Mathematics and Physics 54, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1976
[BCHM10] C. Birkar, P. Cascini, C. D. Hacon & J. McKernan, “Existence of minimal models for varieties of log general type”, J. Amer. Math. Soc. 23 (2010) no. 2, p. 405-468 Article
[Bea83] Arnaud Beauville, “Variétés kählériennes dont la première classe de Chern est nulle”, J. Differential Geom. 18 (1983) no. 4, p. 755-782 Article
[Bes87] A. L. Besse, Einstein manifolds, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3) 10, Springer-Verlag, Berlin, 1987
[BL04] C. Birkenhake & H. Lange, Complex abelian varieties, Springer, Berlin, 2004
[BLR90] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud, Néron models, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3) 21, Springer-Verlag, Berlin, 1990
[Bou61] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Fascicule XXVIII. Algèbre commutative. Chapitre 3: Graduations, filtrations et topologies. Chapitre 4: Idéaux premiers associés et décomposition primaire, Actualités Scientifiques et Industrielles 1293, Hermann, Paris, 1961
[Bri10] M. Brion, Some basic results on actions of nonaffine algebraic groups, Symmetry and spaces, Progress in Math. 278, Birkhäuser Boston, Inc., 2010, p. 1–20
[BS76] C. Bănică & O. Stănăşilă, Algebraic methods in the global theory of complex spaces, Editura Academiei; John Wiley & Sons, Bucharest; London-New York-Sydney, 1976
[Con00] B. Conrad, Grothendieck duality and base change, Lect. Notes in Math. 1750, Springer-Verlag, Berlin, 2000
[DG11] M. Demazure & A. Grothendieck, Schémas en groupes (SGA 3). Tome I. Propriétés générales des schémas en groupes, Documents mathématiques 7, Société Mathématique de France, Paris, 2011, Revised and annotated edition of the 1970 original
[DG67] J. Dieudonné & A. Grothendieck, “Critéres différentiels de régularité pour les localisés des algèbres analytiques”, J. Algebra 5 (1967), p. 305-324 Article
[Dru17] S. Druel, “A decomposition theorem for singular spaces with trivial canonical class of dimension at most five”, Invent. Math. (2017), doi:10.1007/s00222-017-0748-y
[DS14] S. Donaldson & S. Sun, “Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds and algebraic geometry”, Acta Math. 213 (2014) no. 1, p. 63-106 Article
[EGZ09] P. Eyssidieux, V. Guedj & A. Zeriahi, “Singular Kähler-Einstein metrics”, J. Amer. Math. Soc. 22 (2009) no. 3, p. 607-639 Article
[GGK17] D. Greb, H. Guenancia & S. Kebekus, “Klt varieties with trivial canonical class: holonomy, differential forms, and fundamental groups”, arXiv:1704.01408, 2017
[GKKP11] D. Greb, S. Kebekus, S. J. Kovács & T. Peternell, “Differential forms on log canonical spaces”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 114 (2011), p. 87-169 Article
[GKP16] D. Greb, S. Kebekus & T. Peternell, Singular spaces with trivial canonical class, Minimal models and extremal rays (Kyoto, 2011), Adv. Stud. Pure Math. 70, Mathematical Society of Japan, 2016, p. 67–113
[Gro03] Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents mathématiques 3, Société Mathématique de France, Paris, 2003, Updated and annotated reprint of the 1971 original
[Gro05] A. Grothendieck, Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), Documents mathématique 4, Société Mathématique de France, Paris, 2005, Revised reprint of the 1968 original
[Gro61] A. Grothendieck, “Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. I”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 11 (1961)
[Gro65] A. Grothendieck, “Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 24 (1965)
[Gro66] A. Grothendieck, “Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 28 (1966)
[Gro67] A. Grothendieck, “Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 32 (1967)
[Gro95a] A. Grothendieck, Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki (1960-61), Vol. 6, Société Mathématique de France, 1995, p. 249–276
[Gro95b] A. Grothendieck, Technique de descente et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. V. Les schémas de Picard: théorèmes d’existence, Séminaire Bourbaki (1961-62), Vol. 7, Société Mathématique de France, 1995, p. 143–161
[Har77] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer-Verlag, New York, 1977
[Har80] R. Hartshorne, “Stable reflexive sheaves”, Math. Ann. 254 (1980) no. 2, p. 121-176 Article
[Kal01] D. Kaledin, “Symplectic resolutions: deformations and birational maps”, arXiv:0012008, 2001
[Kar00] K. Karu, “Minimal models and boundedness of stable varieties”, J. Algebraic Geom. 9 (2000) no. 1, p. 93-109
[Kaw85] Y. Kawamata, “Minimal models and the Kodaira dimension of algebraic fiber spaces”, J. reine angew. Math. 363 (1985), p. 1-46
[KKMSD73] G. Kempf, F. F. Knudsen, D. Mumford & B. Saint-Donat, Toroidal embeddings. I, Lect. Notes in Math. 339, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973
[KM92] J. Kollár & S. Mori, “Classification of three-dimensional flips”, J. Amer. Math. Soc. 5 (1992) no. 3, p. 533-703 Article
[KM98] J. Kollár & S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge Tracts in Mathematics 134, Cambridge University Press, Cambridge, 1998
[KMM87] Y. Kawamata, K. Matsuda & K. Matsuki, Introduction to the minimal model problem, Algebraic geometry (Sendai, 1985), Adv. Stud. Pure Math. 10, North-Holland, 1987, p. 283–360
[Kol86] J. Kollár, “Higher direct images of dualizing sheaves. II”, Ann. of Math. (2) 124 (1986) no. 1, p. 171-202 Article
[Kol93] J. Kollár, “Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties”, Invent. Math. 113 (1993) no. 1, p. 177-215 Article
[Kol97] J. Kollár, Singularities of pairs, Algebraic geometry (Santa Cruz, 1995), Proc. Sympos. Pure Math. 62, American Mathematical Society, 1997, p. 221–287
[Laz04] R. Lazarsfeld, Positivity in algebraic geometry. I, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3) 48, Springer-Verlag, Berlin, 2004
[LWX14] C. Li, X. Wang & C. Xu, “On proper moduli spaces of smoothable Kähler-Einstein Fano varieties”, arXiv:1411.0761, 2014
[MFK94] D. Mumford, J. Fogarty & F. Kirwan, Geometric invariant theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (2) 34, Springer-Verlag, Berlin, 1994
[Nak04] N. Nakayama, Zariski-decomposition and abundance, MSJ Memoirs 14, Mathematical Society of Japan, Tokyo, 2004
[Nam01] Y. Namikawa, “Deformation theory of singular symplectic $n$-folds”, Math. Ann. 319 (2001) no. 3, p. 597-623 Article
[Nam06] Y. Namikawa, “On deformations of $\mathbb{Q}$-factorial symplectic varieties”, J. reine angew. Math. 599 (2006), p. 97-110
[Nam94] Y. Namikawa, “On deformations of Calabi-Yau 3-folds with terminal singularities”, Topology 33 (1994) no. 3, p. 429-446 Article
[NS95] Y. Namikawa & J. H. M. Steenbrink, “Global smoothing of Calabi-Yau threefolds”, Invent. Math. 122 (1995) no. 2, p. 403-419 Article
[RZ11a] X. Rong & Y. Zhang, “Continuity of extremal transitions and flops for Calabi-Yau manifolds”, J. Differential Geom. 89 (2011) no. 2, p. 233-269, Appendix B by Mark Gross Article
[RZ11b] W.-D. Ruan & Y. Zhang, “Convergence of Calabi-Yau manifolds”, Adv. in Math. 228 (2011) no. 3, p. 1543-1589 Article
[Sch71] M. Schlessinger, “Rigidity of quotient singularities”, Invent. Math. 14 (1971), p. 17-26 Article
[Sch88] C. Schoen, “On fiber products of rational elliptic surfaces with section”, Math. Z. 197 (1988) no. 2, p. 177-199 Article
[Ser01] J.-P. Serre, Exposés de séminaires (1950-1999), Documents mathématiques 1, Société Mathématique de France, Paris, 2001
[SSY16] C. Spotti, S. Sun & C. Yao, “Existence and deformations of Kähler–Einstein metrics on smoothable $\mathbb{Q}$-Fano varieties”, Duke Math. J. 165 (2016) no. 16, p. 3043-3083 Article
[Tak03] Shigeharu Takayama, “Local simple connectedness of resolutions of log-terminal singularities”, Internat. J. Math. 14 (2003) no. 8, p. 825-836 Article
[Yau78] S.-T. Yau, “On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I.”, Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), p. 339-411 Article