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Raphaël Danchin; Xin Zhang
On the persistence of Hölder regular patches of density for the inhomogeneous Navier-Stokes equations
(Persistance de la régularité höldérienne des poches de densité pour les équations de Navier-Stokes inhomogène)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 781-811, doi: 10.5802/jep.56
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Class. Math.: 35K59, 76D05
Mots clés: Équations de Navier-Stokes inhomogène, poches de densité, régularité $\protect \mathcal{C}^{1, \varepsilon }$, régularité stratifiée

Résumé - Abstract

Dans notre travail récent consacré aux équations de Boussinesq [15], on a établi la persistance de solutions avec température constante par morceaux le long d’interfaces à régularité höldérienne. On aborde ici la même question pour les équations de Navier-Stokes inhomogène satisfaites par un liquide visqueux incompressible à densité variable. On démontre que, dans le cas légèrement non homogène, les poches de densité avec régularité $\mathcal{C}^{1, \varepsilon }$ se propagent pour tout temps. Notre résultat est conséquence de la conservation de la régularité höldérienne le long des champs de vecteurs transportés par le flot de la solution. La preuve de ce dernier résultat repose sur des estimations de commutateur mettant en jeu des para-champs et des espaces de multiplicateurs. L’analyse est plus compliquée que dans [15], dans la mesure où le couplage entre les équations de la masse et de la vitesse dans les équations de Navier-Stokes inhomogène est quasilinéaire alors qu’il est linéaire pour les équations de Boussinesq.

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