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Kai Cieliebak; Tobias Ekholm; Janko Latschev; Lenhard Ng
Knot contact homology, string topology, and the cord algebra
(Homologie de contact pour les nœuds, topologie des cordes et algèbre des cordes)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 661-780, doi: 10.5802/jep.55
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Class. Math.: 53D42, 55P50, 57R17, 57M27
Mots clés: Courbe holomorphe, topologie des cordes, fibré conormal, invariant de nœud, sous-variété lagrangienne, sous-variété legendrienne

Résumé - Abstract

Le fibré conormal lagrangien $L_K$ d’un nœud $K$ dans $\mathbb{R}^{3}$ est la sous-variété du fibré cotangent $T^{\ast }\mathbb{R}^{3}$ formée des covecteurs le long de $K$ qui annulent les vecteurs tangents à $K$. En l’intersectant avec le fibré cotangent unitaire $S^{\ast }\mathbb{R}^{3}$, on obtient le fibré conormal unitaire $\Lambda _{K}$, dont l’homologie de contact legendrienne est un invariant du nœud $K$, appelé homologie de contact pour les nœuds. Nous définissons une version de la topologie des cordes pour des cordes dans $\mathbb{R}^{3}\cup L_K$ et montrons qu’elle est isomorphe en degré $0$ à l’homologie de contact pour les nœuds. La topologie des cordes permet une approche topologique de l’algèbre des cordes (qui est aussi isomorphe à l’homologie de contact pour les nœuds en degré $0$) et la relie au groupe du nœud. Ceci donne, joint à cet isomorphisme, une nouvelle démonstration du fait que l’homologie de contact pour les nœuds détecte le nœud trivial. Nos techniques font intervenir une analyse détaillée de certains espaces de modules de disques holomorphes dans $T^{\ast }\mathbb{R}^{3}$ avec bord dans $\mathbb{R}^{3}\cup L_K$.

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