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Annalisa Cesaroni; Nicolas Dirr; Matteo Novaga
Homogenization of a semilinear heat equation
(Homogénéisation d’une équation de la chaleur semi-linéaire)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 633-660, doi: 10.5802/jep.54
Article PDF | TeX source
Class. Math.: 35B27, 74Q10, 35D40
Mots clés: Homogénéisation, équations paraboliques, viscosité tendant vers $0$

Résumé - Abstract

Nous considérons l’homogénéisation d’une équation de la chaleur semi-linéaire avec viscosité tendant vers $0$ et un potentiel positif oscillant dépendant de $u/\varepsilon $. Suivant le rapport entre la fréquence des oscillations dans le potentiel et le facteur tendant vers $0$ dans la viscosité, nous obtenons différents régimes de l’évolution limite et nous discutons la convergence uniforme locale des solutions du problème effectif. L’aspect intéressant du modèle est que, dans un régime à forte diffusion, l’opérateur effectif est discontinu comme fonction du gradient. Nous obtenons une caractérisation complète de la solution limite en dimension $n=1$, alors qu’en dimension $n>1$ nous analysons les propriétés principales des solution du problème effectif sélectionné à la limite, et nous montrons l’unicité pour certaines classes de données initiales.

Bibliographie

[1] N. Alibaud, A. Briani & R. Monneau, “Diffusion as a singular homogenization of the Frenkel-Kontorova model”, J. Differential Equations 251 (2011) no. 4-5, p. 785-815 Article |  MR 2812571
[2] M. Bardi & I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Systems & Control: Foundations & Applications, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997
[3] G. Barles, “Some homogenization results for non-coercive Hamilton-Jacobi equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations 30 (2007) no. 4, p. 449-466 Article
[4] L. A. Caffarelli & R. Monneau, “Counter-example in three dimension and homogenization of geometric motions in two dimension”, Arch. Rational Mech. Anal. 212 (2014) no. 2, p. 503-574 Article
[5] P. Cardaliaguet, P.-L. Lions & P. E. Souganidis, “A discussion about the homogenization of moving interfaces”, J. Math. Pures Appl. (9) 91 (2009) no. 4, p. 339-363 Article
[6] A. Cesaroni, N. Dirr & M. Novaga, Asymptotic speed of propagation for a viscous semilinear parabolic equation, Gradient flows: from theory to application, ESAIM Proceedings and Surveys 54, Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles & EDP Sciences, 2016, p. 45-53
[7] A. Cesaroni & M. Novaga, “Long-time behavior of the mean curvature flow with periodic forcing”, Comm. Partial Differential Equations 38 (2013) no. 5, p. 780-801 Article
[8] A. Cesaroni, M. Novaga & E. Valdinoci, “Curve shortening flow in heterogeneous media”, Interfaces Free Bound. 13 (2011) no. 4, p. 485-505 Article
[9] X. Chen & G. Namah, “Periodic travelling wave solutions of a parabolic equation: a monotonicity result”, J. Math. Anal. Appl. 275 (2002) no. 2, p. 804-820 Article
[10] N. Dirr, G. Karali & N. K. Yip, “Pulsating wave for mean curvature flow in inhomogeneous medium”, European J. Appl. Math. 19 (2008) no. 6, p. 661-699 Article
[11] N. Dirr & N. K. Yip, “Pinning and de-pinning phenomena in front propagation in heterogeneous media”, Interfaces Free Bound. 8 (2006) no. 1, p. 79-109 Article
[12] Y. Giga, Surface evolution equations. A level set approach, Monographs in Mathematics 99, Birkhäuser Verlag, Basel, 2006
[13] H. Ibrahim & R. Monneau, “On the rate of convergence in periodic homogenization of scalar first-order ordinary differential equations”, SIAM J. Math. Anal. 42 (2010) no. 5, p. 2155-2176 Article
[14] C. Imbert & R. Monneau, “Homogenization of first-order equations with $(u/\varepsilon )$-periodic Hamiltonians. I. Local equations”, Arch. Rational Mech. Anal. 187 (2008) no. 1, p. 49-89 Article
[15] R. L. Jerrard, “Singular limits of scalar Ginzburg-Landau equations with multiple-well potentials”, Adv. Differential Equations 2 (1997) no. 1, p. 1-38
[16] P.-L. Lions & P. E. Souganidis, “Homogenization of degenerate second-order PDE in periodic and almost periodic environments and applications”, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 22 (2005) no. 5, p. 667-677 Article
[17] B. Lou, “Periodic travelling wave solutions of a curvature flow equation in the plane”, Tôhoku Math. J. (2) 59 (2007) no. 3, p. 365-377 Article
[18] B. Lou, “Periodic traveling waves of a mean curvature flow in heterogeneous media”, Discrete Contin. Dynam. Systems 25 (2009) no. 1, p. 231-249 Article
[19] G. Namah & J.-M. Roquejoffre, “Convergence to periodic fronts in a class of semilinear parabolic equations”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 4 (1997) no. 4, p. 521-536 Article
[20] L. C. Piccinini, “Homogeneization problems for ordinary differential equations”, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1978) no. 1, p. 95-112 Article
[21] M. H. Protter & H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Springer-Verlag, New York, 1984