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Chang-Shou Lin; Chin-Lung Wang
Mean field equations, hyperelliptic curves and modular forms: II
(Équations de champ moyen, courbes hyperelliptiques et formes modulaires : II)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 557-593, doi: 10.5802/jep.51
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Class. Math.: 33E10, 35J08, 35J75, 14H70
Mots clés: Courbe de Lamé, fonction de Hecke, forme pré-modulaire

Résumé - Abstract

Nous introduisons une forme pré-modulaire $Z_n(\sigma ; \tau )$ de poids $\tfrac{1}{2} n(n + 1)$ pour chaque $n \in \mathbb{N}$, avec $(\sigma , \tau ) \in \mathbb{C} \times \mathbb{H}$, de sorte que pour $E_\tau = \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z} \tau )$, tout zéro non trivial de $Z_n(\sigma ; \tau )$, c’est-à-dire que $\sigma $ n’est pas de $2$-torsion dans $E_\tau $, correspond à une (famille de) solution de l’équation

$$ \hspace{250.0pt}\triangle u + e^u = \rho \, \delta _0, \hspace{222.22214pt}{(\textrm{MFE})} $$

sur le tore plat $E_\tau $ avec $\rho = 8\pi n$.

Dans la partie I [1], nous avons construit une courbe hyperelliptique $\bar{X}_n(\tau ) \subset \mathrm{Sym}^n E_\tau $, la courbe de Lamé, associée à l’équation (MFE). Notre construction de $Z_n(\sigma ; \tau )$ s’appuie sur une étude détaillée de la correspondance $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \leftarrow \bar{X}_n(\tau ) \rightarrow E_\tau $ induite par la projection hyperelliptique et l’application d’addition.

Dans l’appendice, Y.-C. Chou donne, comme application de l’expression explicite de la forme $Z_4(\sigma ; \tau )$ pré-modulaire de poids $10$, une formule de comptage pour les équations de Lamé de degré $n = 4$ avec monodromie finie.

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