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Marc Briane; Antonio Jesús Pallares Martín
Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity
(Homogénéisation de fonctionnelles intégrales faiblement coercives en élasticité linéaire tridimensionnelle)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 483-514, doi: 10.5802/jep.49
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Class. Math.: 35B27, 74B05, 74Q15
Mots clés: Élasticité linéaire, ellipticité, homogénéisation, $\Gamma $-convergence, lamination

Résumé - Abstract

Dans cet article on étudie la $\Gamma $-convergence d’énergies intégrales faiblement coercives, de densité oscillante $\mathbb{L}(x/\varepsilon )\nabla v{:}\nabla v$, en élasticité tridimensionnelle. Les énergies sont faiblement coercives du fait que la coercivité fonctionnelle classique satisfaite par le tenseur périodique $\mathbb{L}$ :

$$\int _{\mathbb{R}^3}\mathbb{L}(y)\nabla v{:}\nabla v\,dy\ge \Lambda (\mathbb{L})\int _{\mathbb{R}^3}|\nabla v|^2\,dy,$$

pour toute fonction régulière $v$ à support compact dans $\mathbb{R}^3$, avec $\Lambda (\mathbb{L})>0$, est remplacée par la condition relaxée $\Lambda (\mathbb{L})\ge 0$. On montre que le tenseur homogénéisé $\mathbb{L}^0$ reste fortement elliptique ou, de manière équivalente, $\Lambda (\mathbb{L}^0)>0$, pour tout tenseur $\mathbb{L}=\mathbb{L}(y_1)$ vérifiant l’inégalité ponctuelle :

$$\mathbb{L}(y)M{:}M+D{:}\mathrm{Cof}(M)\ge 0,\quad \text{p.p. }y\in \mathbb{R}^3,\ \forall \,M\in \mathbb{R}^{3\times 3},$$

par l’addition d’un lagrangien nul pour une matrice $D\in \mathbb{R}^{3\times 3}$ donnée, et en supposant la coercivité fonctionnelle périodique $\Lambda _\mathrm{per}(\mathbb{L})>0$ (obtenue avec des fonctions test $v$ de gradient périodique). Cependant, on obtient une perte d’ellipticité du tenseur homogénéisé, fondée sur un résultat de $\Gamma $-convergence sous la seule hypothèse $\Lambda (\mathbb{L})\ge 0$, et sur une lamination de rang $2$.

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