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Ville Kivioja; Enrico Le Donne
Isometries of nilpotent metric groups
(Isométries de groupes métriques nilpotents)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 473-482, doi: 10.5802/jep.48
Article PDF | TeX source
Class. Math.: 22E25, 53C30, 22F30
Mots clés: Isométries, groupes nilpotents, transformations affines, nilradical

Résumé - Abstract

Nous considérons des groupes de Lie munis de distances arbitraires. Nous supposons seulement que ces distances sont invariantes à gauche et induisent la topologie de la variété sous-jacente. Nous appelons groupes de Lie métriques de tel objets. Mis à part les groupes de Lie riemanniens, des exemples remarquables sont donnés par les groupes de Lie sous-riemanniens, les groupes homogènes et, en particulier, les groupes de Carnot munis de distances de Carnot–Carathéodory. Nous montrons la régularité des isométries, c’est-à-dire des homéomorphismes qui préservent la distance. Notre premier résultat est l’analyticité de telles applications entre des groupes de Lie métriques. Le second résultat est que, si deux groupes de Lie métriques sont connexes et nilpotents, alors toute isométrie entre ces groupes est la composition d’une translation à gauche et d’un isomorphisme. Il y a des contre-exemples si on ne suppose pas que les groupes sont connexes ou nilpotents. Le premier résultat repose sur la solution du cinquième problème de Hilbert par Montgomery et Zippin. Le second résultat est démontré à l’aide du premier, en réduisant le problème au cas riemannien, cas qui a été essentiellement résolu par Wolf.

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