staple
Avec cedram.org
logo JEP
Table des matières de ce volume | Article précédent | Article suivant
Nicolas Bergeron; Michael Lipnowski
Twisted limit formula for torsion and cyclic base change
(Formule de multiplicité limite tordue pour la torsion et changement de base cyclique)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 435-471, doi: 10.5802/jep.47
Article PDF | TeX source
Class. Math.: 11F75, 11F70, 11F72, 58J52
Mots clés: Torsion homologique, multiplicité limite, changement de base

Résumé - Abstract

Soit $G$ le groupe des points complexes d’un groupe de Lie semi-simple réel dont le rang fondamental est égal à 1, par exemple $G= \mathrm{SL}_2 (\mathbb{C}) \times \mathrm{SL}_2 (\mathbb{C})$ ou $\mathrm{SL}_3 (\mathbb{C})$. Alors le rang fondamental de $G$ est égal à $2$ et, selon la conjecture faite dans [3], les réseaux dans $G$ devraient avoir « peu » — dans le sens très faible de « sous-exponentiel en le co-volume » — de torsion homologique. En utilisant le changement de base, nous exhibons des suites de réseaux le long desquelles la torsion homologique croît exponentiellement avec la racine carrée du volume. Ce comportement est déduit d’un théorème général qui compare les torsions $L^2$ tordues et non tordues dans la situation générale d’un changement de base. Nous utilisons également une version équivariante précise du « Théorème de Cheeger-Müller » démontrée par le second auteur [23].

Bibliographie

[1] M. Abert, N. Bergeron, I. Biringer, T. Gelander, N. Nikolov, J. Raimbault & I. Samet, “On the growth of $L^2$-invariants for sequences of lattices in Lie groups”, arXiv:1210.2961, 2012
[2] D. Barbasch & H. Moscovici, “$L^{2}$-index and the Selberg trace formula”, J. Funct. Anal. 53 (1983) no. 2, p. 151-201 Article
[3] N. Bergeron & A. Venkatesh, “The asymptotic growth of torsion homology for arithmetic groups”, J. Inst. Math. Jussieu 12 (2013) no. 2, p. 391-447 Article
[4] J.-M. Bismut & W. Zhang, An extension of a theorem by Cheeger and Müller, Astérisque 205, Société Mathématique de France, Paris, 1992, With an appendix by François Laudenbach
[5] J.-M. Bismut & W. Zhang, “Milnor and Ray-Singer metrics on the equivariant determinant of a flat vector bundle”, Geom. Funct. Anal. 4 (1994) no. 2, p. 136-212 Article
[6] A. Borel, J.-P. Labesse & J. Schwermer, “On the cuspidal cohomology of $S$-arithmetic subgroups of reductive groups over number fields”, Compositio Math. 102 (1996) no. 1, p. 1-40
[7] A. Bouaziz, “Formule d’inversion d’intégrales orbitales tordues”, Compositio Math. 81 (1992) no. 3, p. 261-290
[8] G. E. Bredon, Introduction to compact transformation groups, Pure and Applied Mathematics 46, Academic Press, New York-London, 1972  MR 413144
[9] F. Calegari, “Blog post: torsion in the cohomology of co-compact arithmetic lattices”, http://galoisrepresentations.wordpress.com/2013/02/06/
[10] F. Calegari & M. Emerton, “Bounds for multiplicities of unitary representations of cohomological type in spaces of cusp forms”, Ann. of Math. (2) 170 (2009) no. 3, p. 1437-1446 Article
[11] F. Calegari & M. Emerton, “Mod-$p$ cohomology growth in $p$-adic analytic towers of 3-manifolds”, Groups Geom. Dyn. 5 (2011) no. 2, p. 355-366 Article
[12] F. Calegari & A. Venkatesh, “A torsion Jacquet–Langlands correspondence”, arXiv:1212.3847, 2012
[13] L. Clozel, “Changement de base pour les représentations tempérées des groupes réductifs réels”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982) no. 1, p. 45-115 Article |  MR 672475
[14] P. Delorme, “Théorème de Paley-Wiener invariant tordu pour le changement de base ${\bf C}/{\bf R}$”, Compositio Math. 80 (1991) no. 2, p. 197-228
[15] Harish-Chandra, “Harmonic analysis on real reductive groups. III. The Maass-Selberg relations and the Plancherel formula”, Ann. of Math. (2) 104 (1976) no. 1, p. 117-201 Article
[16] R. A. Herb & J. A. Wolf, “The Plancherel theorem for general semisimple groups”, Compositio Math. 57 (1986) no. 3, p. 271-355
[17] S. Illman, “Smooth equivariant triangulations of $G$-manifolds for $G$ a finite group”, Math. Ann. 233 (1978) no. 3, p. 199-220 Article
[18] F. F. Knudsen & D. Mumford, “The projectivity of the moduli space of stable curves. I. Preliminaries on ‘det’ and ‘Div’”, Math. Scand. 39 (1976) no. 1, p. 19-55 Article
[19] J.-P. Labesse, “Pseudo-coefficients très cuspidaux et $K$-théorie”, Math. Ann. 291 (1991) no. 4, p. 607-616 Article |  MR 1135534
[20] J.-P. Labesse & J.-L. Waldspurger, La formule des traces tordue d’après le Friday Morning Seminar, CRM Monograph Series 31, American Mathematical Society, Providence, RI, 2013
[21] R. P. Langlands, Base change for ${\rm GL}(2)$, Annals of Mathematics Studies 96, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1980  MR 574808
[22] M. Lipnowski, “Equivariant torsion and base change”, Algebra Number Theory 9 (2015) no. 10, p. 2197-2240 Article
[23] M. Lipnowski, “The equivariant Cheeger–Müller theorem on locally symmetric spaces”, J. Inst. Math. Jussieu 15 (2016) no. 1, p. 165-202, See also arXiv:1312.2543v2; version 2 has corrections that we refer to not appearing in the published JIMJ version Article
[24] J. Lott & M. Rothenberg, “Analytic torsion for group actions”, J. Differential Geom. 34 (1991) no. 2, p. 431-481 Article |  MR 1131439
[25] W. Lück, “Analytic and topological torsion for manifolds with boundary and symmetry”, J. Differential Geom. 37 (1993) no. 2, p. 263-322 Article
[26] W. Müller, “Analytic torsion and $R$-torsion for unimodular representations”, J. Amer. Math. Soc. 6 (1993) no. 3, p. 721-753 Article
[27] W. Müller & J. Pfaff, “On the asymptotics of the Ray-Singer analytic torsion for compact hyperbolic manifolds”, Internat. Math. Res. Notices (2013) no. 13, p. 2945-2983 Article
[28] M. Olbrich, “$L^2$-invariants of locally symmetric spaces”, Doc. Math. 7 (2002), p. 219-237
[29] J. Rohlfs, Lefschetz numbers for arithmetic groups, Cohomology of arithmetic groups and automorphic forms (Luminy-Marseille, 1989), Lect. Notes in Math. 1447, Springer, 1990, p. 303–313
[30] J. Rohlfs & B. Speh, “Lefschetz numbers and twisted stabilized orbital integrals”, Math. Ann. 296 (1993) no. 2, p. 191-214 Article
[31] M. H. Şengün, “On the integral cohomology of Bianchi groups”, Experiment. Math. 20 (2011) no. 4, p. 487-505 Article
[32] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lect. Notes in Math. 5, Springer-Verlag, Berlin, 1994  MR 1324577