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Andrea Aspri; Elena Beretta; Corrado Mascia
Analysis of a Mogi-type model describing surface deformations induced by a magma chamber embedded in an elastic half-space
(Analyse d’un modèle du type de Mogi décrivant les déformations de surface induites par une chambre magmatique contenue dans un demi-espace élastique)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 4 (2017), p. 223-255, doi: 10.5802/jep.42
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Class. Math.: 35C20, 31B10, 35J25, 86A60
Mots clés: Opérateur de Lamé, développement asymptotique, potentiels de simple et double couche

Résumé - Abstract

Motivés par un problème volcanologique, nous établissons une approche mathématique solide pour les effets de déformation de surface engendrés par une chambre magmatique contenue à l’intérieur de la Terre et soumise à une pression hydrostatique uniforme. Des hypothèses de modélisation traduisent le problème en un système élasto-statique (homogène et isotrope) classique dans un demi-espace avec une cavité incluse. Les conditions au bord sont sans traction au bord air/croûte, et uniformément hydrostatiques au bord de la chambre. Elles sont complétées par une condition de déplacement nul à l’infini (avec taux de décroissance). Après une courte présentation du modèle et de son intérêt géophysique, nous établissons que le problème est bien posé et proposons une formulation intégrale appropriée pour sa solution dans le cas d’une cavité de forme générale. En conséquence, supposant que la chambre est centrée en un point $z$ et est de diamètre $r>0$ petit par rapport à la profondeur $d$, nous en déduisons rigoureusement le terme principal du développement asymptotique de la déformation de surface sous la forme $\varepsilon =r/d\rightarrow 0^+$. Une telle formule permet de donner une preuve rigoureuse du modèle des points sources de Mogi dans le cas des cavités de forme arbitraire, qui généralise celle dans le cas des cavités sphériques.

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