staple
Avec cedram.org
logo JEP
Table des matières de ce volume | Article précédent | Article suivant
Robert J. McCann; Ludovic Rifford
The intrinsic dynamics of optimal transport
(La dynamique intrinsèque du transport optimal)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 3 (2016), p. 67-98, doi: 10.5802/jep.29
Article PDF | TeX source
Class. Math.: 49Q20, 28A35
Mots clés: Transport optimal, problème de Monge-Kantorovitch, application de transport optimale, plan de transport optimal, conditions suffisantes pour l’unicité

Résumé - Abstract

Nous nous intéressons aux coûts pour lesquels la solution du problème de transport optimal de Monge-Kantorovitch entre deux mesures de probabilités est unique. À l’heure actuelle, les seuls exemples connus de tels coûts lisses sur des variétés compactes nécessitent que l’une des variétés soit homéomorphe à une sphère. Nous introduisons une dynamique (multivaluée) associée au coût et exhibons des propriétés suffisantes pour l’unicité d’un plan de transport optimal. Cette approche nous permet de construire des coûts lisses sur des variétés compactes quelconques pour lesquels l’unicité d’un plan de transport optimal est assurée.

Bibliographie

[1] N. Ahmad, H. K. Kim & R. J. McCann, “Optimal transportation, topology and uniqueness”, Bull. Sci. Math. 1 (2011) no. 1, p. 13-32 Article |  MR 2823786
[2] V. Beneš & J. Štěpán, The support of extremal probability measures with given marginals, Mathematical statistics and probability theory, Vol. A (Bad Tatzmannsdorf, 1986), Reidel, 1987, p. 33–41  MR 922685 |  Zbl 0633.60005
[3] P. Bernard & B. Buffoni, “Optimal mass transportation and Mather theory”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 9 (2007) no. 1, p. 85-121 Article |  MR 2283105 |  Zbl 1241.49025
[4] P. Bernard & G. Contreras, “A generic property of families of Lagrangian systems”, Ann. of Math. (2) 167 (2008) no. 3, p. 1099-1108 Article |  MR 2415395 |  Zbl 1175.37067
[5] S. Bianchini & L. Caravenna, “On the extremality, uniqueness and optimality of transference plans”, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 4 (2009) no. 4, p. 353-454  MR 2582736 |  Zbl 1207.90015
[6] P.-A. Chiappori, R. J. McCann & L. P. Nesheim, “Hedonic price equilibria, stable matching, and optimal transport: equivalence, topology, and uniqueness”, Econom. Theory 42 (2010) no. 2, p. 317-354 Article |  MR 2564439 |  Zbl 1183.91056
[7] F. H. Clarke, “Generalized gradients and applications”, Trans. Amer. Math. Soc. 205 (1975), p. 247-262  MR 367131 |  Zbl 0307.26012
[8] F. H. Clarke, Optimization and nonsmooth analysis, Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, J. Wiley & Sons, Inc., New York, 1983  MR 709590 |  Zbl 0696.49002
[9] H. Federer, Geometric measure theory, Grundlehren Math. Wiss. 153, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969  MR 257325 |  Zbl 0874.49001
[10] W. Gangbo, “Quelques problèmes d’analyse non convexe”, Habilitation thesis, Université de Metz, 1995
[11] W. Gangbo & R. J. McCann, “The geometry of optimal transportation”, Acta Math. 177 (1996) no. 2, p. 113-161 Article |  MR 1440931 |  Zbl 0887.49017
[12] W. Gangbo & R. J. McCann, “Shape recognition via Wasserstein distance”, Quart. Appl. Math. 58 (2000) no. 4, p. 705-737  MR 1788425 |  Zbl 1039.49038
[13] N. Gigli, “On the inverse implication of Brenier-McCann theorems and the structure of $(P_2(M),W_2)$”, Methods Appl. Anal. 18 (2011) no. 2, p. 127-158 Article |  MR 2847481 |  Zbl 1284.49050
[14] M. Golubitsky & V. Guillemin, Stable mappings and their singularities, Graduate Texts in Math. 14, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973  MR 341518 |  Zbl 0434.58001
[15] K. Hestir & S. C. Williams, “Supports of doubly stochastic measures”, Bernoulli 1 (1995) no. 3, p. 217-243 Article |  MR 1363539 |  Zbl 0844.60002
[16] V. L. Levin, “Abstract cyclical monotonicity and Monge solutions for the general Monge-Kantorovich problem”, Set-Valued Anal. 7 (1999) no. 1, p. 7-32 Article |  MR 1699061 |  Zbl 0934.54013
[17] V. L. Levin, “On the generic uniqueness of an optimal solution in an infinite-dimensional linear programming problem”, Dokl. Akad. Nauk 421 (2008) no. 1, p. 21-23 Article |  MR 2463761 |  Zbl 1227.90023
[18] R. Mañé, “Generic properties and problems of minimizing measures of Lagrangian systems”, Nonlinearity 9 (1996) no. 2, p. 273-310 Article |  MR 1384478 |  Zbl 0886.58037
[19] R. J. McCann, “Polar factorization of maps on Riemannian manifolds”, Geom. Funct. Anal. 11 (2001) no. 3, p. 589-608 Article |  MR 1844080 |  Zbl 1011.58009
[20] J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1997, Revised reprint of the 1965 original  MR 1487640 |  Zbl 1025.57002
[21] A. Moameni, “Supports of extremal doubly stochastic measures”, preprint, 2014
[22] L. Rifford, Sub-Riemannian geometry and optimal transport, Springer Briefs in Mathematics, Springer, Cham, 2014 Article |  MR 3308395
[23] S. M. Srivastava, A course on Borel sets, Graduate Texts in Math. 180, Springer-Verlag, New York, 1998 Article |  MR 1619545 |  Zbl 0903.28001
[24] H. Whitney, Geometric integration theory, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1957  MR 87148 |  Zbl 0083.28204
[25] L. Zajíček, “On the differentiability of convex functions in finite and infinite dimensional spaces”, Czechoslovak Math. J. 29 (1979) no. 3, p. 340-348