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Stéphane Fischler; Tanguy Rivoal
Arithmetic theory of $E$-operators
(Théorie arithmétique des $E$-opérateurs)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 3 (2016), p. 31-65, doi: 10.5802/jep.28
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Class. Math.: 11J91, 33E30, 34M40, 44A10
Mots clés: E-opérateur, G-opérateur, transformée de Laplace, valeur spéciale, série Gevrey arithmétique, développement asymptotique

Résumé - Abstract

Dans [1], André a introduit les $E$-opérateurs, une classe d’opérateurs différentiels intimement liés aux $E$-fonctions, et il a construit des bases locales de solutions pour ces opérateurs. Dans cet article on étudie la nature arithmétique des constantes de connexion des $E$-opérateurs à distance finie, et des constantes de Stokes à l’infini. On démontre qu’elles mettent en jeu des valeurs de $E$-fonctions en des points algébriques dans le premier cas, et dans le second des valeurs de $G$-fonctions et des dérivées de la fonction Gamma en des points rationnels. Comme application, on définit et on étudie une classe de nombres qui possèdent certaines approximations algébriques définies en termes de $E$-fonctions. Ces types d’approximations sont motivés par les réduites du nombre $e$, et par des constructions récentes d’approximations de la constante d’Euler et de valeurs de la fonction Gamma. Nos résultats et nos méthodes sont complètement différents de ceux de notre article [11], dans lequel nous avons étudié des questions similaires pour les $G$-fonctions.

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