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David Renard
Euler-Poincaré pairing, Dirac index and elliptic pairing for Harish-Chandra modules
(Accouplement d’Euler-Poincaré, indice de Dirac et accouplement elliptique des modules de Harish-Chandra)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 3 (2016), p. 209-229, doi: 10.5802/jep.32
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Class. Math.: 22E46, 22E47
Mots clés: Module de Harish-Chandra, représentation elliptique, accouplement d’Euler-Poincaré, accouplement elliptique, cohomologie de Dirac

Résumé - Abstract

Soit $G$ un groupe réductif réel connexe et soit $K$ un sous-groupe compact maximal que l’on suppose de même rang. Nous relions trois accouplements entre modules de Harish-Chandra de longueur finie $X$ et $Y$ : l’accouplement d’Euler-Poincaré, l’accouplement naturel entre les indices de Dirac de $X$ et $Y$ et l’accouplement elliptique d’Arthur [2] (l’indice de Dirac $\mathsf {I}_{\mathrm{Dir}}(X)$ est une représentation virtuelle de dimension finie de $\widetilde{K}$, le revêtement Spin à deux feuillets de $K$). Nous construisons des fonctions indices $f_X$ pour tout module de Harish-Chandra de longueur finie $X$. Chacune de ces fonctions est très cuspidale au sens de Labesse, et son intégrale orbitale coïncide sur les éléments elliptiques avec le caractère de $X$. De ceci nous déduisons que l’accouplement naturel des indices de Dirac coïncide avec l’accouplement elliptique. Une analogie avec le cas des algèbres de Hecke considéré dans [8] et [7] et un calcul formel (mais non rigoureux) nous ont amenés à conjecturer que les deux premiers accouplements coïncident eux aussi. Nous montrons qu’ils peuvent tout deux être exprimés comme indices de paires de Fredholm (définis ici dans un sens algébrique) d’opérateurs agissant sur les même espaces. Récemment Huang et Sun ont établi l’égalité entre accouplement d’Euler-Poincaré et accouplement elliptique, démontrant ainsi directement l’analogue d’un résultat de Schneider et Stuhler pour les groupes $p$-adiques [25].

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