staple
Avec cedram.org
logo JEP
Table des matières de ce volume | Article suivant
François Laudenbach; Gaël Meigniez
Haefliger structures and symplectic/contact structures
(Structures de Haefliger et structures de contact/symplectiques)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 3 (2016), p. 1-29, doi: 10.5802/jep.27
Article PDF | TeX source
Class. Math.: 57R17, 57R30
Mots clés: Feuilletages, $\Gamma $-structures de Haefliger, structure symplectique, structure de contact, submersion, immersion

Résumé - Abstract

Sur une variété de dimension $n$, nous introduisons une approche en deux temps du $h$-principe de Gromov pour certaines structures géométriques incluant les structures symplectiques et les structures de contact. A partir de données formelles d’une telle géométrie, la première étape construit une structure de Haefliger de codimension $n$ munie transversalement de cette géométrie. Cette construction vaut pour toutes les variétés, même celles qui sont compactes à bord vide. La seconde étape, qui ne vaut que pour les variétés ouvertes mais pour n’importe quelle géométrie, consiste à régulariser une structure de Haefliger transversalement géométrique et ainsi produire une vraie structure géométrique sur la variété considérée. Les deux étapes admettent des versions paramétriques relatives. Les preuves empruntent des idées de W. Thurston dans ses travaux sur les feuilletages. L’une d’elles, sous une forme élémentaire, remonte à R. Thom sous le nom de « dents-de-scie ».

Bibliographie

[1] M. S. Borman, Y. Eliashberg & E. Murphy, “Existence and classification of overtwisted contact structures in all dimensions”, arXiv:1404.6157, 2014
[2] E. H. Brown, “Cohomology theories”, Ann. of Math. (2) 75 (1962), p. 467-484  Zbl 0101.40603
[3] V. Colin, Livres ouverts en géométrie de contact (d’après Emmanuel Giroux), Séminaire Bourbaki, Vol. 2006/2007, Astérisque 317, Société Mathématique de France, 2008, p. 91–117  Zbl 1156.57020
[4] Y. Eliashberg & N. M. Mishachev, “Wrinkling of smooth mappings. III. Foliations of codimension greater than one”, Topol. Methods Nonlinear Anal. 11 (1998) no. 2, p. 321-350  Zbl 0927.58022
[5] Y. Eliashberg & N. M. Mishachev, Introduction to the $h$-principle, Graduate Studies in Math. 48, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002 Article |  Zbl 1008.58001
[6] Y. Eliashberg & E. Murphy, “Making cobordisms symplectic”, arXiv:1504.06312, 2015
[7] M. Gromov, Partial differential relations, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3) 9, Springer-Verlag, Berlin, 1986 Article |  Zbl 0651.53001
[8] A. Haefliger, “Feuilletages sur les variétés ouvertes”, Topology 9 (1970), p. 183-194  Zbl 0196.26901
[9] A. Haefliger, Homotopy and integrability, Manifolds–Amsterdam 1970 (Proc. Nuffic Summer School), Lect. Notes in Math. 197, Springer, 1971, p. 133–163  Zbl 0215.52403
[10] A. Haefliger, Private communication, Jan. 2014
[11] A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002  Zbl 1044.55001
[12] M. W. Hirsch, “Immersions of manifolds”, Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), p. 242-276  Zbl 0113.17202
[13] D. McDuff, “Applications of convex integration to symplectic and contact geometry”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 37 (1987) no. 1, p. 107-133 Cedram |  Zbl 0572.58010
[14] J. Moser, “On the volume elements on a manifold”, Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965), p. 286-294  Zbl 0141.19407
[15] E. Murphy, “Loose Legendrian embeddings in high dimensional contact manifolds”, arXiv:1201.2245, 2012
[16] R. S. Palais, “Homotopy theory of infinite dimensional manifolds”, Topology 5 (1966), p. 1-16  Zbl 0138.18302
[17] S. Smale, “The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces”, Ann. of Math. (2) 69 (1959), p. 327-344  Zbl 0089.18201
[18] R. Thom, “Remarques sur les problèmes comportant des inéquations différentielles globales”, Bull. Soc. math. France 87 (1959), p. 455-461 Numdam |  Zbl 0213.25302
[19] W. Thurston, “The theory of foliations of codimension greater than one”, Comment. Math. Helv. 49 (1974), p. 214-231  Zbl 0295.57013
[20] O. Veblen & J.H.C. Whitehead, “A set of axioms for differential geometry”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 17 (1931), p. 551-561 Article |  Zbl 0003.13002
[21] H. Whitney, Geometric integration theory, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1957  Zbl 0083.28204