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Paolo Ghiggini; Klaus Niederkrüger; Chris Wendl
Subcritical contact surgeries and the topology of symplectic fillings
(Chirurgies de contact sous-critiques et topologie des remplissages symplectiques)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 3 (2016), p. 163-208, doi: 10.5802/jep.31
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Class. Math.: 57R17, 53D10, 32Q65, 57R65
Mots clés: Chirurgie de contact, remplissage symplectique, disques holomorphes

Résumé - Abstract

Un résultat d’Eliashberg affirme que tout remplissage symplectique d’une somme connexe de contact en dimension $3$ est obtenu par somme connexe au bord d’un autre remplissage symplectique. Nous montrons une généralisation partielle de ce résultat pour les chirurgies de contact sous-critiques en dimension supérieure : étant donnée une variété de contact obtenue à partir d’une autre par chirurgie sous-critique, la cosphère de l’anse est nulle dans le groupe de bordisme orienté $\Omega _*^{SO}(W)$ de tout remplissage symplectiquement asphérique $W$. En dimension $5$, elle est même homotope à zéro. Plus généralement, si le remplissage n’est pas asphérique mais semi-positif, alors la cosphère de l’anse est triviale dans $H_*(W)$. Nous montrons aussi, en utilisant des méthodes similaires, que la décomposition en somme connexe de contact pour les structures de contact tendues en dimension $3$ ne s’étend pas en dimension supérieure. Nous exhibons en particulier des sommes connexes de variétés de dimension au moins $5$ qui portent une structure de contact Stein remplissable qui ne peut pas se mettre sous la forme d’une somme connexe de contact. Les démonstrations s’appuient sur les techniques de remplissage par disques holomorphes avec, pour conditions au bord, des familles de livres ouverts legendriens (que l’on abrège par « Lob »).

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