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Guy Métivier
$L^2$ well-posed Cauchy problems and symmetrizability of first order systems
(Problèmes de Cauchy bien posés dans $L^2$ et symétrisabilité pour les systèmes du premier ordre)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 1 (2014), p. 39-70, doi: 10.5802/jep.3
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Class. Math.: 35L
Mots clés: Systèmes d’équations aux dérivées partielles, problème de Cauchy, hyperbolicité, hyperbolicité forte, symétriseurs, estimation d’énergie, unicité locale, propagation à vitesse finie

Résumé - Abstract

Le problème de Cauchy est bien posé dans $L^2$ pour les systèmes du premier ordre $L(t, x, \partial _t, \partial _x)$ qui admettent un symétriseur microlocal $S(t,x, \xi )$ $C^\infty $ en $\xi \ne 0$ et lipschitzien en $(t, x)$. Cet article contient trois principaux résultats. D’abord, il est montré qu’une régularité lipschitzienne globale en $(t,x, \xi )$ pour le symétriseur est suffisante. Ensuite, il est établi que l’existence de symétriseurs microlocaux est équivalente à l’existence de symétriseurs complets $\Sigma (t, x, \tau , \xi )$ de même régularité, notion introduite dans [FL67]. Cette étape est le point clé dans la démonstration du troisième résultat qui affirme que l’existence de symétriseurs microlocaux est préservée par changement de variable de temps. Un corollaire en est l’unicité locale et la vitesse finie de propagation.

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