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Yves Coudène; Barbara Schapira
Generic measures for geodesic flows on nonpositively curved manifolds
(Mesures génériques pour le flot géodésique en courbure négative ou nulle)
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 1 (2014), p. 387-408, doi: 10.5802/jep.14
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Class. Math.: 37B10, 37D40, 34C28
Mots clés: Flot géodésique, systèmes dynamiques hyperboliques, courbure négative ou nulle, ergodicité, mesures génériques, entropie nulle, mélange.

Résumé - Abstract

Nous étudions les propriétés génériques des mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique sur des variétés connexes à courbure négative ou nulle. Sous une hypothèse technique assez faible, nous démontrons que l’ergodicité est une propriété générique dans l’ensemble des mesures de probabilité sur le fibré unitaire tangent de la variété dont le support est constitué de trajectoires qui ne bordent pas de ruban plat. Pour cela, nous démontrons que les mesures portées par les orbites périodiques sont denses dans cet ensemble. Dans le cas d’une surface compacte, nous obtenons le résultat optimal suivant : l’ergodicité est générique dans l’espace de toutes les probabilités invariantes sur le fibré unitaire tangent si et seulement s’il n’y a pas de ruban plat sur le revêtement universel de la surface.

Finalement nous démontrons que sous les hypothèses adéquates, génériquement, les mesures de probabilité invariantes sont d’entropie nulle et ne sont pas fortement mélangeantes.

Bibliographie

[ABC11] F. Abdenur, Ch. Bonatti & S. Crovisier, “Nonuniform hyperbolicity for $C^1$-generic diffeomorphisms”, Israel J. Math. 183 (2011), p. 1-60 Article |  MR 2811152 |  Zbl 1246.37040
[Bab02] M. Babillot, “On the mixing property for hyperbolic systems”, Israel J. Math. 129 (2002), p. 61-76 Article |  MR 1910932 |  Zbl 1053.37001
[Bal82] W. Ballmann, “Axial isometries of manifolds of nonpositive curvature”, Math. Ann. 259 (1982) no. 1, p. 131-144 Article |  MR 656659 |  Zbl 0487.53039
[Bal95] W. Ballmann, Lectures on spaces of nonpositive curvature, DMV Seminar 25, Birkhäuser Verlag, Basel, 1995, With an appendix by Misha Brin Article |  MR 1377265
[Bil99] P. Billingsley, Convergence of probability measures, Wiley Series in Probability and Statistics: Probability and Statistics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999 Article |  MR 1700749 |  Zbl 0172.21201
[Cou02] Y. Coudène, “Une version mesurable du théorème de Stone-Weierstrass”, Gaz. Math. (2002) no. 91, p. 10-17  MR 1896063 |  Zbl 1026.46021
[Cou04] Y. Coudène, “Topological dynamics and local product structure”, J. London Math. Soc. (2) 69 (2004) no. 2, p. 441-456 Article |  MR 2040614 |  Zbl 1055.37017
[CS10] Y. Coudène & B. Schapira, “Generic measures for hyperbolic flows on non-compact spaces”, Israel J. Math. 179 (2010), p. 157-172 Article |  MR 2735038 |  Zbl 1229.53078
[CS11] Y. Coudène & B. Schapira, “Counterexamples in nonpositive curvature”, Discrete Contin. Dynam. Systems 30 (2011) no. 4, p. 1095-1106 Article |  MR 2812955 |  Zbl 1257.37020
[Dal00] F. Dal’bo, “Topologie du feuilletage fortement stable”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 50 (2000) no. 3, p. 981-993 Cedram |  MR 1779902 |  Zbl 0965.53054
[Ebe80] P. Eberlein, “Lattices in spaces of nonpositive curvature”, Ann. of Math. (2) 111 (1980) no. 3, p. 435-476 Article |  MR 577132 |  Zbl 0401.53015
[Ebe96] P. Eberlein, Geometry of nonpositively curved manifolds, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996  MR 1441541 |  Zbl 0883.53003
[Gro78] M. Gromov, “Manifolds of negative curvature”, J. Differential Geom. 13 (1978) no. 2, p. 223-230  MR 540941 |  Zbl 0433.53028
[Kni02] G. Knieper, Hyperbolic dynamics and Riemannian geometry, Handbook of dynamical systems, Vol. 1A, North-Holland, 2002, p. 453–545 Article |  MR 1928523 |  Zbl 1049.37020
[Kni98] G. Knieper, “The uniqueness of the measure of maximal entropy for geodesic flows on rank $1$ manifolds”, Ann. of Math. (2) 148 (1998) no. 1, p. 291-314 Article |  MR 1652924 |  Zbl 0946.53045
[Par61] K. R. Parthasarathy, “On the category of ergodic measures”, Illinois J. Math. 5 (1961), p. 648-656  MR 148850 |  Zbl 0103.28101
[Par62] K. R. Parthasarathy, “A note on mixing processes”, Sankhyā Ser. A 24 (1962), p. 331-332  MR 169283 |  Zbl 0108.30702
[Sig70] K. Sigmund, “Generic properties of invariant measures for Axiom A diffeomorphisms”, Invent. Math. 11 (1970), p. 99-109  MR 286135 |  Zbl 0193.35502
[Sig72a] K. Sigmund, “On mixing measures for Axiom A diffeomorphisms”, Proc. Amer. Math. Soc. 36 (1972), p. 497-504  MR 309155 |  Zbl 0225.28013
[Sig72b] K. Sigmund, “On the space of invariant measures for hyperbolic flows”, Amer. J. Math. 94 (1972), p. 31-37  MR 302866 |  Zbl 0242.28014
[Wal82] P. Walters, An introduction to ergodic theory, Graduate Texts in Math. 79, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982  MR 648108 |  Zbl 0958.28011